Lógica: a primeira aula

Esta página não é uma lista de links. É uma aula de verdade, curta, com exercícios no fim. Dá pra fazer hoje, com o caderno do lado. Lógica é a peça que conecta as outras quatro matérias — e é ela que faz matemática, programação e campo minado pararem de parecer coisas diferentes.

1. Proposição

Uma proposição é uma frase que pode ser verdadeira ou falsa. Só isso.

"Está chovendo" → é proposição (ou é verdade, ou não é).
"Que horas são?" → não é. Pergunta não tem valor de verdade.
"Feche a porta" → não é. Ordem também não.

A gente dá nomes curtos pras proposições: P, Q, R.

2. Os conectivos

Símbolo	Lê-se	Quando é verdadeiro
¬P	não P	quando P é falso
P ∧ Q	P e Q	só quando os dois são verdadeiros
P ∨ Q	P ou Q	quando pelo menos um é verdadeiro (os dois também vale)
P → Q	se P, então Q	sempre, menos quando P é verdadeiro e Q é falso

Repare no "ou": em lógica, ou não é escolha entre duas coisas. "Quero café ou bolo" em lógica aceita perfeitamente os dois.

3. A tabela-verdade

É a ferramenta mais boba e mais poderosa daqui. Você lista todas as combinações possíveis e vê o que acontece. Com duas proposições, são quatro linhas:

P	Q	P ∧ Q	P ∨ Q	P → Q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

4. O "se... então" (a parte que confunde todo mundo)

Olhe de novo a última coluna: P → Q só é falso numa única situação — quando P acontece e Q não acontece.

Pense numa promessa: "Se chover, eu levo guarda-chuva." Quando é que eu menti?

Choveu e levei → cumpri. Verdadeiro.
Choveu e não levei → menti. Falso.
Não choveu e levei → eu não menti. Só sou precavida.
Não choveu e não levei → também não menti. Nada foi prometido pra esse caso.

Por isso, quando P é falso, a promessa vale automaticamente: ela nunca chegou a ser testada.

5. Contrapositiva

P → Q diz exatamente a mesma coisa que ¬Q → ¬P.

"Se chover, eu levo guarda-chuva" é a mesma afirmação que "se eu não levei guarda-chuva, então não choveu". Trocar uma pela outra é legítimo — e é um dos truques mais usados em demonstração matemática, quando provar do jeito direto é difícil.

Cuidado: Q → P ("se levei guarda-chuva, então choveu") não é a mesma coisa. Confundir os dois é o erro mais comum que existe.

6. Duas regras e duas armadilhas

	Você sabe	Pode concluir?
Modus ponens	P → Q, e P é verdade	Sim: Q.
Modus tollens	P → Q, e Q é falso	Sim: P é falso.
Armadilha 1	P → Q, e Q é verdade	Não. Nada se conclui sobre P.
Armadilha 2	P → Q, e P é falso	Não. Nada se conclui sobre Q.

Exemplo da armadilha 1: "se chove, a rua fica molhada". A rua está molhada. Choveu? Não necessariamente — pode ter passado o caminhão-pipa. Essa é a falácia da afirmação do consequente, e ela está por trás de metade das discussões ruins da internet.

7. Agora a parte divertida: campo minado é lógica pura

Cada número no campo minado é uma restrição: ele diz exatamente quantas minas existem entre os quadrados vizinhos dele. Ganhar sem chutar é só resolver um sisteminha dessas restrições.

Vamos deduzir o padrão mais famoso, o 1-2-1. Imagine três números numa linha, com quadrados fechados logo abaixo:

1	2	1
a	b	c

Os três de cima estão abertos. a, b e c estão fechados.

Chame de a, b, c a quantidade de minas em cada quadrado (0 ou 1). Cada número enxerga só os quadrados que ele toca:

o 1 da esquerda toca a e b     →   a + b = 1
o 2 do meio toca a, b e c      →   a + b + c = 2
o 1 da direita toca b e c      →   b + c = 1

Substitua a primeira linha na segunda: se a + b = 1, então 1 + c = 2, ou seja c = 1. Voltando na terceira: b + 1 = 1, então b = 0. E aí a = 1.

1	2	1
✗	✓	✗

Minas embaixo dos dois 1 (✗). O quadrado embaixo do 2 é seguro (✓).

Isso não foi decorar padrão: foi resolver um sistema de equações. Foi matemática, foi lógica e foi jogo, tudo ao mesmo tempo. É por isso que os jogos estão no meu plano de estudos e não na aba de lazer.

Exercícios

Faça no caderno antes de abrir a resposta. Escrever a dedução por extenso vale mais do que acertar.

1. Escreva a contrapositiva de: "Se eu estudei, eu passei."

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"Se eu não passei, então eu não estudei." (E note que isso é bem diferente de "se eu não estudei, então não passei" — essa não se conclui.)

2. Sei que "se é um gato, então é um mamífero". Descobri que um bicho não é mamífero. O que concluo?

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Que não é um gato. Isso é modus tollens.

3. Sei que "se é um gato, então é um mamífero". Descobri que o bicho é mamífero. O que concluo sobre ele ser gato?

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Nada. Pode ser gato, pode ser baleia. Armadilha 1.

4. Faça a tabela-verdade de ¬(P ∧ Q) e a de ¬P ∨ ¬Q. Compare as duas colunas finais.

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São idênticas: F, V, V, V. Ou seja, negar "os dois" é o mesmo que dizer "pelo menos um dos dois não". Isso se chama lei de De Morgan, e você vai reencontrar ela exatamente igual quando estiver escrevendo if em programação.

5. No campo minado, uma linha mostra 1 e 2 lado a lado, com três quadrados fechados embaixo (a, b, c), onde o 1 toca a e b, e o 2 toca a, b e c. O que dá pra afirmar sobre c?

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a + b = 1 e a + b + c = 2, logo c = 1: c é mina, com certeza. Esse é o padrão 1-2-X, e ele é o pai do 1-2-1 e do 1-2-2-1.

Onde continuar

Khan Academy grátisPT Procure por "conjuntos" e "raciocínio lógico". Bom pra treinar com correção automática.
Portal da Matemática OBMEP grátisPT Módulos de contagem e problemas de raciocínio, com apostila em PDF.
Minha página de xadrez e campo minado Onde eu treino isso na prática, todo sábado.

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